Período de inscrição: 13 de fevereiro a 30 de março.
Primeira fase: 5 de junho.
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Mais informações: http://www.obmep.org.br/
1. Na sequência de Fibonnaci dividamos cada termo pelo seu antecessor:
À medida que avançamos na sequencia de Fibonacci, a razão entre dois termos consecutivos oscila em torno da Razão Áurea.
2. No Triângulo de Pascal.
A soma dos números nas diagonais é sempre um Número de Fibonacci
3. Retângulos ao quadrado
Se você soma um número ímpar de produtos de números de Fibonacci sucessivos , então a soma é igual ao quadrado do úlitmo número de Fibonacci que você usou nos produtos.
Um exemplo: 1, 1,2,3
1 x 1 + 1 x 2 + 2 x 3 = 1 + 2 + 6 = 9
Como o último número dessa sequencia é 3, temos que 32 = 9.
Qualquer número ímpar de retângulos com lados iguais a números de Fibonacci se encaixa precisamente em um quadrado.
4. Com o número 11
A sequência de Fibonacci tem uma propriedade relacionada com o número 11 muito interessante: a soma de dez números consecutivos quaisquer de Fibonacci é divisível por 11.
Um exemplo: 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610. Sua soma vale 1584 que é divisível por 11 (1584 : 11 = 144)
Nessa propriedade pode ser ainda verificado que essa soma de dez números consecutivos é sempre igual a 11 vezes o sétimo número da sequência escolhida.
No exemplo anterior: a soma encontrada (1584) é igual a 11 x 144.
5. Número de dígitos
O matemático e escritor A. Pickover chama os números associados ao 666 de apocalípticos. Ele descobriu que o 3184º número de Fibonacci tem 666 dígitos.
6. 89 e o 1/89
A Seqüência de Fibonacci contém um número absolutamente notável – o décimo primeiro número, 89. O valor de 1/89 na representação decimal é igual a 0,01123595 … Suponha que você organize os números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … como frações decimais da seguinte maneira:
Em outras palavras, o dígito das unidades do primeiro número de Fibonacci esta na segunda casa decimal, e do segundo está na terceira casa decimal, e assim por diante (o dígito das unidades do n-ésimo número de Fibonacci esta na (n+1)-ésima casa decimal). Agora se somarmos todos os números, iremos obter 0,01123595 … que é igual a 1/89.
Essa curiosidade foi descoberto por Cody Birsner, um estudante na universidade de Oklahoma, em 1994.
7. Fibonacci Pitagórico
Os números de Fibonacci também estão relacionados às triplas pitagóricas. Estas últimas, como podemos recordar, são triplas de números que podem servir como comprimentos dos lados de um triângulo retângulo (como os números 3, 4 e 5). Tome quaisquer quatro números consecutivos de Fibonacci, como 1, 2, 3, 5. O produto dos números de fora, 1×5=5, duas vezes o produto dos números de dentro, 2 x 2 x 3 = 12, e a soma dos quadrados dos termos de dentro, 22 + 32 = 13, formam as 3 pernas da tripla pitagórica 5, 12, 13 (52 + 122 = 132). Mas isso não é tudo. Note que o terceiro número, 13 é, ele próprio, um número de Fibonacci.
Esta propriedade foi descoberta pelo matemático Charles Raine.
8. Periodicidade da seqüência de Fibonacci
Os números de Fibonacci se tornam grandes rapidamente, porque sempre se somam dois números sucessivos para formar o seguinte. Enquanto o 5º número de Fibonacci é 5, o 125º é 59.425.114.757.512.643.212.875.125, e é interessante notar que o dígito da unidade aparece com uma periodicidade de 60 (isto é, a cada 60 números o digito se repete). Por exemplo, o segundo número é 1, e o sexagésimo segundo é 4.052.739.537.881 (também terminado em 1), e o 122º número, 14.028.366.653.498.915.298.923.761, também termina em 1; o mesmo vale para o 182º, e assim por diante. De mesmo modo, o 14º número é 377, e o 74º é 1.304.969.544.928.657, também termina com 7, e assim por diante.
Esta propriedade foi descoberta em 1774 pelo matemático francês nascido da Itália Joseph Louis Lagrange (1736-1813), que é responsável por muitos trabalhos em Teoria dos Números e em Mecânica, e que também estudou a estabilidade do sistema solar.
8. Soma relâmpago
A soma de todos os números de Fibonacci, do primeiro ao n- ésimo, é simplesmente igual ao
(n+2)-ésimo número menos 1. Por exemplo, a soma dos dez primeiros números,
1 + 1 + 2 + 3 + + 5 + 8 + 13 + 55 + 143
é igual ao décimo segundo número (144) menos 1.
Fonte bibliográfica:
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 2004.
BOYER, Carl Benjamin. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1986.
LIVIO, Mario. Razão Áurea. A história de Fi. Rio de Janeiro: Record, 2011.
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Vol.04 – Sequencias Matrizes Determinantes e Sistemas
Vol.05 – Combinatória e Probabilidade
Vol.06 – Complexos, Polinômios e Equações
Vol.08 – Limites Derivadas e Noções de Integral
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Você sabia????
Platão combinou as idéias de Empédocles (c. 490 – 430 a.C.) de que os quatro elementos básicos da matéria são terra, água, ar e fogo, com a teoria “atômica” da matéria (a existência de partículas indivisíveis) de Demócrito de Abdera (c. 460 a.C. – 370 a.C.). Sua teoria unificada sugere que cada um dos quatro elementos corresponde a um tipo diferente de partícula fundamental e é representado pos um dos sólidos platônicos. Devemos perceber que, embora os detalhes tenham obviamente mudado bastante, a idéia básica por trás da teoria de Platão não é tão diferente da formulação de John Dalton da moderna química no século XIX.
Segundo Platão, a terra é associada ao cubo estável; a qualidade penetrante do fogo, ao pontudo e relativamente simples tetraedro; o ar, à aparência “móvel” do octaedro, e a água, ao multifacetado icosaedro. O quinto sólido, o dodecaedro, era atribuído por Platão (em Timaeus) ao universo como um todo, ou, em suas palavras, o dodecaedro é aquele “que deus usou para ornamentar as constelações de todo o céu”. Foi por esse motivo que o pintor Salvador Dali decidiu incluir um imenso dodecaedro flutuando acima da mesa da ceia em seu quadro “Sacramento da Última Ceia”.
Fonte: LÍVIO, Mário. Razão Áurea: a história de Fi. 5ª ed. Rio de Janeiro: Record, 2011.
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Você sabia?????
A incomensurabilidade entre duas grandezas refere-se ao fato de a sua razão não poder ser expressa por um número racional e, consequentemente, ao fato de os números racionais serem insuficientes para descrever a realidade. Por exemplo, sabe-se que a razão entre o perímetro de uma circunferência e o seu diâmetro é um número irracional que se convencionou designar por . As primeiras demonstrações matemáticas da existência de grandezas incomensuráveis remontam à Grécia Antiga, nomeadamente as demonstrações da incomensurabilidade entre a diagonal e o lado do quadrado e do pentágono regular.
Não há fundamentação teórica para a primeira descoberta da incomensurabilidade pelos hindus, nem mesmo que Pitágoras conhecesse tamanho problema, provavelmente essa descoberta fora feita por pitagóricos em meados de 410 a. C. Alguns dizem que foi Hipasus de Metaponto no fim do quinto século a. C, outros dizem que foi meio século depois.
Fonte:
http://www.atractor.pt/mat/incomensurabilidade/index.htm
http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/Monografia_Jurandir.pdf
Drika Mendonça
